Доповідь на тему: “Лінії та лінійні рівняння” ПЛАН 1. Поняття лінії та лінійного рівняння 2. Система лінійних рівнянь, особливості їх розв’язування Список використаної літератури 1. Поняття лінії та лінійного рівняння Пряма лінія - одне з основних понять геометрії. При систематичному викладі геометрії пряма лінія звичайно приймається за одне з вихідних понять, яке лише непрямим чином визначається аксіомами геометрії. Якщо основою побудови геометрії служить поняття відстані між двома точками простору, то пряму лінію можна визначити як лінію, вздовж якої відстань між двома точками є найкоротшою. Пряма лінія - алгебраїчна лінія першого порядку: у декартовій системі координат пряма лінія задається на площині рівнянням 1-го ступеня (лінійне рівняння). Загальне рівняння (повне): Ах+Ву+З=0, де А, В і С - будь-які постійні, причому А і В одночасно не дорівнюють нулю. Якщо один з коефіцієнтів дорівнює нулю, рівняння називається неповним. Лінійне рівняння, рівняння, у яке невідомі входять у 1-му ступені (тобто лінійно) і відсутні члени, які містять добутки невідомих. 2. Система лінійних рівнянь, особливості їх розв’язування Певна кількість лінійних рівнянь щодо тих самих невідомих утворюють систему лінійних рівнянь. Рішенням системи лінійного рівняння називають набір чисел c1, c2, ..., cn, що звертає всі рівняння в тотожності після підстановки їх замість відповідних невідомих. Система лінійних рівнянь може мати як одне єдине рішення, так і нескінченну безліч рішень (невизначену система); може також виявитися, що система лінійних рівнянь не має жодного рішення (неспільна система).   Найчастіше зустрічається випадок, коли число рівнянь збігається з числом невідомих. Одне лінійне рівяння з один невідомим має вид:   ax = b;   рішенням його при а  0 буде число b/a. Система двох лінійних рівнянь із двома невідомими має вигляд:  
 (1)   де a11, a12, a21, a22, b1, b2— які-небудь числа. Рішення системи (1) можна одержати за допомогою визначників:  
,  
;   тут передбачається, що визначник, що
 стоїть в знаменнику, відмінний від нуля. У чисельниках стоять визначники, які виходять з D заміною в ньому одного стовпця стовпцем вільних членів b1, b2; у вираженні для першого невідомого x1 заміняється перший стовпець, а у вираженні для другого невідомого x2 — другий.   Аналогічне правило застосовне і при рішенні будь-якої системи і лінійного рівняння з n невідомими, тобто системи виду:  
 (2)   тут aij і bi (i, j = 1, 2, ..., n) — довільні числові коефіцієнти; числа b1, b2, ..., bn називають звичайно вільними членами. Якщо визначник D = aij системи (2), складений з коефіцієнтів aij при невідомих, відмінний від нуля, то рішення виходить у такий спосіб: k-e (k = 1, 2, ..., n) невідоме xk дорівнює дробу, у знаменнику якої коштує визначник D, а в чисельнику — визначник, отриманий з D заміною в ньому стовпця з коефіцієнтів при відшукуванні невідомого (к-го стовпця) стовпця вільних членів b1, b2, ..., bn. Якщо D = 0, то система (2) або не має жодного рішення, або має нескінченна безліч рішень.   Якщо всі bi = 0 (систему лінійних рівнянь називають у цьому випадку однорідною), то при D  0 рішення системи (2) буде нульовим (тобто всі xk = 0). У практиці часто, однак, зустрічаються однорідні системи лінійних рівнянь з числом рівнянь на 1 менше числа невідомих, тобто системи виду:  
 (3)   Рішення такої системи неоднозначне; з неї, як правило, можна знайти тільки відношення невідомих:   x1 : x2 : ... : xn = D1 : D2 : ... : Dn,   де Dn — помножений на (—1)k визначник, отриманий з матриці коефіцієнтів aij системи (3) викреслюванням якогось стовпця (це правило застосовне тільки тоді, коли хоча б один з визначників Di відмінний від 0).   Уперше рішення систем (2) було отримано Г. Кратером у 1750; правило для перебування рішення цих систем носить дотепер назву правила Крамера. Побудова повної теорії систем лінійних рівнянь було закінчено тільки через 100 років Л.Кронекером.   Загальна система m лінійних рівнянь з n невідомими має вид:  
 (4)  ...